Young 不等式

定理

$a,b>0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 則：

$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

證明

考慮 $y=x^{p-1}$ 和 $y=x^{q-1}$ 的積分（很明顯，他們互為反函數：$(p-1)(q-1)=1$）

直接考慮面積，不等式自然成立。並且，等號成立在 $a^p=b^q$時：

$$a^{p-1}=b\iff a^p=b^{\frac{p-1}{p}}=b^q$$

特例

• $p=q=2$ -> 平均不等式

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)